是什么讓你這么肯定1+1=2的？為什么不是1？數(shù)學(xué)究竟從何而來？
讓我們從最基本的數(shù)學(xué)方程開始： 這可能是我們小時候?qū)W的第一個等式。一些人可能有模糊的記憶，我們的父母一遍又一遍地重復(fù)這個等式。等一下，你可能會抗議。這個方程有一個小...
讓我們從最基本的數(shù)學(xué)方程開始：
這可能是我們小時候?qū)W的第一個等式。一些人可能有模糊的記憶，我們的父母一遍又一遍地重復(fù)這個等式。等一下，你可能會抗議。這個方程有一個小問題！它不是應(yīng)該是：
我想問你：你怎么知道？
這不是很明顯嗎？當(dāng)你把一個彈珠和另一個彈珠放在一起時，你就會得到兩個彈珠！這不是很明顯的嗎？你的父母在你小的時候沒有告訴你嗎？
我的回答是：但是當(dāng)你把一杯水加到另一杯水里時，你最后只得到一杯水！你知道嗎？
1+1=1？
根據(jù)經(jīng)驗主義者的觀點，我們通過經(jīng)驗獲得數(shù)學(xué)知識，似乎是通過與周圍世界的互動來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的。例如，我們的父母可能教我們數(shù)數(shù)，或者用家里的各種物品做簡單的算術(shù)。
但正如上面的小思維實驗所顯示的，這種數(shù)學(xué)觀似乎有一個問題，我們從世界獲得的知識是不確定的。為了理解為什么會這樣，我們要更仔細(xì)地研究一下我們?nèi)绾螌W(xué)習(xí)1+1=2。
假設(shè)一個孩子開始學(xué)習(xí)1+1=2。首先，父母可能會在兩只手上各拿一個彈珠，然后把它們放在一起，讓孩子知道現(xiàn)在有兩個彈珠。這可以用其他物體重復(fù)進(jìn)行，如餅干、鉛筆、數(shù)學(xué)課本。
過一會兒，孩子就會開始意識到這個模式（規(guī)律），并得出（正確的?）結(jié)論：1+1=2。在這種情況下，孩子在有限的樣本容量中添加一個物體和另一個物體，然后概括他的經(jīng)驗，得出等式。
問題是，這種概括，也被稱為歸納法，開啟了錯誤的可能性。如果我們遵循這樣的邏輯，像水杯這樣的例外情況將導(dǎo)致我們得出非常不同的結(jié)論。
這樣看來，也許，雖然我們可以通過經(jīng)驗來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但經(jīng)驗不能成為證明數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。換句話說，雖然我們可以通過擺弄各種物體來了解“1+1=2”這個命題，但這并不是這個命題成立的原因。
經(jīng)驗主義不是最好的數(shù)學(xué)觀點的另一個原因是，它不能解釋我們?nèi)绾潍@得理想和抽象實體的知識，這些實體在現(xiàn)實世界中實際上并不存在。例如，一條線，定義為有長無寬，在現(xiàn)實世界中是不可能畫出來或感知到的。無論你的畫有多好，即使是用電腦畫的，在數(shù)學(xué)上也是不正確的，因為在某種程度上，“線”只是一系列相鄰的像素，它們有寬度。如果這些數(shù)學(xué)對象在現(xiàn)實世界中不存在，我們怎么能僅僅通過我們的經(jīng)驗來想象它們呢?
由于上述原因，數(shù)學(xué)通常被看作是一個先驗的學(xué)科，也就是說，相對于經(jīng)驗而言，它需要理性來認(rèn)識它。這是因為像1+1=2這樣的陳述被視為分析性的，即根據(jù)定義是真的。這就意味著，“1+1≠2”這一命題的否定是一種矛盾，僅僅通過思考(僅使用理性)就可以看出這一矛盾。其他例子包括三角形有三條邊或平行線永不相交。結(jié)果是，我們的數(shù)學(xué)知識現(xiàn)在是確定的，因為說1+1=1或一個三角形有四條邊在邏輯上是根本不正確的。
不是一個三角形。
但這仍然沒有告訴我們，我們是如何得到這樣的表述（結(jié)論）的。為了回答這個問題，我們必須轉(zhuǎn)向最常見的數(shù)學(xué)觀點：柏拉圖主義。
在柏拉圖主義下，數(shù)學(xué)實體是抽象的、永恒的、永不改變的。它們存在于形式的世界中，獨立于物理世界。當(dāng)我們做數(shù)學(xué)時，我們用頭腦來訪問這個形式的世界，發(fā)現(xiàn)其中的真理。例如，我們知道一個三角形有三條邊，因為完美的三角形就是這樣存在于這個形式的世界中，我們可以通過使用我們的思維能力來了解它。
你可能認(rèn)為這個形式世界的概念有點奇怪。但既然像完美的圓和線這樣的數(shù)學(xué)實體不存在于現(xiàn)實世界，那么它們一定存在于某個地方。否則我們怎么會知道它們呢？而它們存在的地方正是柏拉圖主義者所說的形式世界!
這也符合數(shù)學(xué)的先驗性質(zhì)，因為數(shù)學(xué)的合理性不在于是否能在物理世界中找到一個實體或定理，而在于我們是否能在形式世界中找到它。例如，我們并不是通過測量無數(shù)個物理三角形來證明三角形的角度之和為180°。相反，我們使用的是一個我們可以在頭腦中發(fā)現(xiàn)的證明，使我們能夠獲得三角形的真理，即存在于形式世界中不變的三角形，其角度之和等于180度。
此外，它還解釋了為什么數(shù)學(xué)是通用的。世界各國的人都會同意1+1=2或畢達(dá)哥拉斯定理是正確的，因為數(shù)學(xué)獨立于我們的思想而存在。這意味著，我們都可以訪問存在于形式世界中的同一套普遍的數(shù)學(xué)規(guī)則和實體。像萊布尼茨和牛頓這樣的人獨立開發(fā)微積分的事實，也證明了這一點。
然而，正如許多人可能指出的那樣，這種模糊的形式世界的概念并沒有真正準(zhǔn)確地解釋數(shù)學(xué)實體在哪里和如何存在，以及我們?nèi)绾沃浪鼈?。這似乎有點奇怪，有一個神秘的領(lǐng)域，像完美的線和圓這樣的物體就存在，等待我們以某種方式發(fā)現(xiàn)它們。這就是為什么有些人可能更喜歡以下觀點：直覺主義。
根據(jù)直覺主義的觀點，我們并不是在某個抽象的領(lǐng)域里發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實體。相反，數(shù)學(xué)是由人類的思維構(gòu)建的，因此避免了困擾柏拉圖主義者的問題，即我們究竟如何得出數(shù)學(xué)命題。
所有人都對數(shù)學(xué)有一種原始的直覺，從自然數(shù)1、2、3開始這意味著我們對數(shù)字1的含義有一種直接的確定性，而且形成數(shù)字1的心理過程可以重復(fù)得到2，然后是3，以此類推。在這之后，我們可以構(gòu)建數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，如算術(shù)、代數(shù)和集合理論。
這種觀點之所以吸引人，是因為它仍然堅持認(rèn)為數(shù)學(xué)是先驗的、普遍的。由于數(shù)學(xué)語句的構(gòu)建是一種心理活動，它是先驗的，這使我們能夠確定像1+1=2這樣的語句是真的。此外，所有人類對數(shù)學(xué)都有相同的直覺，這一事實使我們能夠提出相同的數(shù)學(xué)并達(dá)成一致。
此外，根據(jù)一種說法，數(shù)學(xué)是建構(gòu)的這一論點似乎確實提供了關(guān)于算術(shù)和人腦之間關(guān)系的最佳解釋。現(xiàn)代心理學(xué)似乎支持原始數(shù)學(xué)直覺的想法，我們有某些先天的范疇，我們根據(jù)這些范疇來理解世界。
然而，直覺主義也有一些缺點。主要的問題是，雖然許多定理既可以用經(jīng)典方法證明，也可以用直覺方法證明，但直覺主義的定理通常要長得多，因此不那么優(yōu)雅，導(dǎo)致許多數(shù)學(xué)家不愿意接受它。
但優(yōu)雅并不是真理的標(biāo)準(zhǔn)，所以僅僅因為直覺主義不如柏拉圖主義優(yōu)雅而否定它并不完全是最理性的做法。
總而言之，在我比較關(guān)于我們?nèi)绾潍@得數(shù)學(xué)知識的兩種觀點——柏拉圖主義和直覺主義之前，一個簡單的思想實驗顯示了為什么看似直觀的數(shù)學(xué)觀點，經(jīng)驗主義是站不住腳的。
